Matematikaku


OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT

1. Penjumlahan

    a. Sifat Tertutup

      a + b = bilangan bulat
      contoh :
    1. 3 + 2 = 5 ( 5 adalah bilangan bulat)
    2. 7 + 4 = 11 ( 11 adalah bilangan bulat)

    b. Sifat Komutatif

      a + b = b + a
      contoh :
    1. 5 + 4 = 4 + 5 = 9
    2. 3 + 1 = 1 + 3 = 4

    c. Sifat Asosiatif

      (a + b) + c = a + (b + c)
      contoh :
    1. (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
      1. 5 + 4 = 2 + 7 = 9
    2. (5 + 6) + 7 = 5 + (6 + 7)
      1. 11 + 7 = 5 + 13 = 18
      Begitu juga (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
      contoh:
    1. (3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4) = 3 + 2 + 4 = 9

    d. Sifat Identitas atau Identitas Komutatif

      a + 0 = 0 + a = a
      contoh:
    1. 2 + 0 = 0 + 2 = 2
    2. 0 + 3 = 3 + 0 = 3

2. Pengurangan

    a. Sifat Tertutup

      a – b = bilangan bulat
      contoh :
    1. 2 – 3 = -1 ( -1 adalah bilangan bulat)
    2. 5 – 2 = 3 ( 3 adalah bilangan bulat)

    b. Sifat Identitas

      a – 0 = a
      contoh :
    1. 3 – 0 = 3
    2. 4 – 0 = 4

    Pengurangan pada himpunan bilangan bulat bersifat komutatif dan asosiatif apabila pengurangan sebagai penjumlahan dengan lawan pengurang.
    contoh :
    a. Komutatif

      a – b = a + (-b) = -b + a
      contoh:
    1. 5 – 2 = 5 + (-2) = -2 + 5
    2. 8 – 4 = 8 + (-4) = -4 + 8

    b. Asosiatif

      (a – b) – c = (a + (–b)) + (–c)

        = a + ((–b) + (–c))
        = a – (b + c)

      contoh:

    1. (15 – 6) – 3 = (15 + (–6)) + (–3)
        = 15 + ((–6) + (–3))
        = 15 – (6 + 3)
    2. (17 – 5) – 9 = (17 + (–5)) + (–9)
        = 17 + ((–5) + (–9))
        = 17 – (5 + 9)

3. Perkalian

    a. Sifat Tertutup

      a x b = bilangan bulat
      contoh :
    1. 3 x 2 = 6 ( 6 adalah bilangan bulat)
    2. -3 x 3 = -9 ( -9 adalah bilangan bulat)

    b. Sifat Komutatif

      a x b = b x a
      contoh :
    1. 3 x 4 = 12
        4 x 3 = 12
        jadi, 3 x 4 = 4 x 3
    2. 5 x (-2) = -10
        -2 x 5 = -10
        jadi, 5 x (-2) = -2 x 5
    3. -5 x (-4) = 20
        -4 x (-5) = 20
        jadi, -5 x (-4) = -4 x (-5)

    c. Sifat Asosiatif

      (a x b) x c = a x (b x c)
      contoh :
    1. (2 x 3) x 4 = 6 x 4 = 24
        2 x (3 x 4) = 2 x 12 = 24
        Jadi, (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4)
    2. (-1 x 2) x 3 = -2 x 3 = -6
        -1 x (2 x 3) = -1 x 6 = -6
        Jadi, (-1 x 2) x 3 = -1 x (2 x 3)

    d. Sifat Identitas atau Identitas Komutatif

      a x 1 = 1 x a = a
      contoh :
    1. 3 x 1 = 1 x 3 = 3
    2. 5 x 1 = 1 x 5 = 5
    e. Sifat Distributif

      1. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan
      (a x b) + (a x c) = a x (b + c)
      contoh :
    1. (2 x 3) + (2 x 4) = 6 + 8 = 14
        (2 x 3) + (2 x 4) = 2 x (3 + 4) = 2 x 7 = 14
        Jadi , (2 x 3) + (2 x 4) = 2 x (3 + 4)
    2. (4 x -2) + (4 x -1) = -8 + (-4) = -12
        (4 x -2) + (4 x -1) = 4 x (-2 + (-1)) = 4 x -3 = -12
        Jadi, (4 x -2) + (4 x -1) = 4 x (-2 + (-1))
      2. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Pengurangan
      (a x b) – (a x c) = a x (b – c)
      contoh :
      1. (2 x 5) – (2 x 3) = 10 – 6 = 4
          (2 x 5) – (2 x 3) = 2 x (5 – 3) = 2 x 2 = 4
          Jadi, (2 x 5) – (2 x 3) = 2 x (5 – 3)
      2. (-5 x 3) – (-5 x 2) = -15 – (-10) = -15 + 10 = -5
          (-5 x 3) – (-5 x 2) = -5 x (3 – 2) = -5 x 1 = -5
          Jadi, (-5 x 3) – (-5 x 2) = -5 x (3 – 2)

4. Pembagian

    a. Pada operasi pembagian tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif
    contoh :
  1. komutatif => 2 : 3 ≠ 3 : 2
    6 : 2 ≠ 2 : 6
  2. Asosiatif => (2 : 3) : 4 ≠ 2 : (3 : 4)
    (5 : 1) : 3 ≠ 5 : (1 : 3)
    b. Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak berlaku sifat tertutup

      Karena 2 : 6 = ⅓, dimana ⅓ bukan bilangan bulat
      dan atau 10 : 3 = 3⅓, dimana 3⅓ bukan bilangan bulat
    c. Pada operasi pembagian bilangan bulat berlaku sifat identitas tapi tidak identitas komutatif
    contoh :
  1. 5 : 1 = 5, 5 : 1 ≠ 1 : 5 karena 1 : 5 ≠ 5
  2. 6 : 1 = 6, 6 : 1 ≠ 1 : 6 karena 1 : 6 ≠ 6
    d. Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalian
    contoh :
  1. 20 : 4 = 5 sebab 5 x 4 = 20 atau
      20 : 4 = 5 5 x 4 = 20
  2. 12 : -3 = -4 sebab -4 x -3 = 12
      12 : -3 = -4 -4 x -3 = 12
    Catatan :

    1. Hasil kali/bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.
    2. Hasil kali/bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.
    3. Hasil kali/bagi bilangan bulat positif dengan negatif atau sebaliknya adalah bilangan bulat negatif.

    5. Campuran

      Pada gabungan operasi hitung perlu diingat urutan penyelesaian dari gabungan operasi tersebut

        • Operasi dalam kurung dikerjakan terlebih dahulu lalu operasi pangkat atau akar
        • Operasi pangkat atau akar dikerjakan dahulu lalu operasi kali dan bagi.
        • Operasi kali dan bagi adalah operasi hitung setara, antara pengerjaannya boleh dipilih mana yang lebih dahulu.
        • Setelah itu operasi penjumlahan atau pengurangan. Operasi ini juga merupakan hitung yang sama.

      Untuk menyelesaikan suatu perhitungan yang menggunakan beberapa operasi hitung perlu diingat urutan pengerjaannya, yaitu:

        1. Operasi dalam tanda kurung
        2. Operasi pangkat atau akar
        3. Operasi kali atau bagi
        4. Operasi tambah atau kurung

KPK dan FPB

    A. KPK

      KPK adalah Kelipatan Persekutuan terKecil.
      Contoh:

    1. KPK dari 6 dan 9
      1. Himpunan kelipatan 6 adalah {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, …}
        Himpunan kelipatan 9 adalah {0, 9, 18, 27, 36, 45, …}
        Himpunan kelipatan persekutuan 6 dan 9 adalah {0, 18, 36, …}
        Jadi, KPK dari 6 dan 9 adalah 18
    2. KPK dari 2, 3 dan 4
      1. Himpunan kelipatan 2 adalah {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …}
        Himpunan kelipatan 3 adalah {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, …}
        Himpunan kelipatan 4 adalah {0, 4, 8, 12, 16, 20, …}
        Himpunan kelipatan persekutuan 6 dan 9 adalah {0, 12, …}
        Jadi, KPK dari 2, 3 dan 4 adalah 12

      Catatan : dalam menentukan KPK tidak diambil 0, karena 0 terdapat pada semua himpunan kelipatan.

    B. FPB

      FPB adalah Faktor Persekutuan terBesar.
      Contoh:

      1. FPB dari 8 dan 12
        1. Himpunan Faktor 8 = {1, 2, 4, 8}
          Himpunan Faktor 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
          Himpunan Faktor Persekutuan dari 8 dan 12 = {1, 2, 4}
          Jadi, FPB dari 8 dan 12 adalah 4
      2. FPB dari 6, 9 dan 15
        1. Himpunan Faktor 6 = {1, 2, 3, 6}
          Himpunan Faktor 9 = {1, 3, 9}
          Himpunan Faktor 15 = {1, 3, 5, 15}
          Himpunan Faktor Persekutuan dari 6, 9 dan 15 = {1, 3}
          Jadi, FPB dari 8 dan 12 adalah 3

      Catatan : menentukan FPB harus diambil nilai terbesar dari nilai-nilai pada himpunan faktor persekutuan dari semua himpunan faktor.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: